『讓我們成為哪種人的，不是我們的才能，而是我們的選擇。』 --阿不思．鄧不利多

因為國中的一位恩師跟我說，100cc的酒精+100cc的水一定不會等於200cc，引發了我對酒精的犯意(?!)，數年。

按照慣例，文章的第一句話一定會離題。這篇文章的主題是說，為什麼1+1一定要等於2。

皮亞諾(Peano)公設是一個很強大的公設，利用它，我們可以"證明"1+1=2。皮亞諾公設是這麼說的：
1-1個集合N中(N即自然數集合)，有元素n，以及後繼元素n'；n'與n互相對應
2-元素e必屬於N中(e是起始的那個自然數，換句話說就是規定1為自然數)
3-元素e在N中不為任意元素的後繼數(所以e其實就是1)
4-N中的元素，如果a' = b'，則a=b
5-S為N的一個子集；若e、n、n'均屬於S，則S=N(換言之，這就是數學歸納法)。

規定：e=1,e'=2,e''=3........依此類推。

用比較不可怕不正式的語言來描述：
1-1是自然數
2-每個確定的自然數e，都有一個確定的後繼數e'，且e'也是自然數。
3-如果a、b皆為e'的後繼數，那麼a=b
4-1不是任何自然數的後繼數。
5-任何對於自然數的命題，如果證明了它對1時為真，又它對自然數n為真，則可以證明它對n' 也為真，因此命題對所有的自然數皆為真(數學歸納法Q_Q)

另外，來看看"加法"。加法是一個函數，它的長相像下面這樣：
(+)(n,e)=n'                        (1)
(+)(n,m')=((+)(n,m))'       (2)

當滿足(1)(2)時，我們稱這個函數為加法，以(+)來表示。滿足這兩個條件的函數是存在而且唯一的：
Proof)
已知存在自然數e、e'、e''、e'''...........

對所有的自然數n而言，
(+)(n,e)=n' 且
(+)(n,e') = ((+)(n,e))'
((+)(n,e')') = ((+)(n,e)')'
.........
故(+)存在且為唯一        (總之，一直以最小的單位e往下加都不會有重覆的結果)


最後，1+1=2：
proof)
因為
(+)(e,e)=e'；
e(+)e = e'；
所以1+1 = 2。

當然，如果你認為0也是個自然數的話，這裡的e就是以0為起點而不是以1為起點；不過公設本身是不變的。

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雖然這個問題很有趣，可是我覺得平行公理比較好玩。

紀念不贊成三角形的內角和一定為180度的教材；因為沒有人證明平行公設。雖然統計學上都會承認排中定理(Law of the excluded middle)，不過也是有人認為第三種情形存在的；所以非H0即H1本身也是個公設，要不然的話數學就犧牲太大一塊餅了。

任何再強大的公設公理也沒有辦法證明自己的一致性，皮亞諾公設也一樣；所以由數學的一致性一定不會導出矛盾的結果? 有興趣可以參考戈德爾不完全定理與相關描述(1.任何一個足夠強大的公設系統，必是不完備的 2.任何一個足夠強大的公設系統，必無法證明自身的一致性。)
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為什麼半夜沒事我要懷疑這種事情呢?

連這種事都要不贊成，我果然是個好辯的人嗎XD 只為了不同意老師說了一句"希臘人的邏輯是最嚴密嚴謹的，幾何也是"，就硬要說平行公理和1+1=2目前為止並沒有被證明的可能XD

所以科學80%就是說服別人，這句話說的真好。最後附上數學裡的一句銘言：為「真」的事情不一定能夠被「證明」!!